Po co nam granice?

Nadszedł czas na kolejny wpis. Tym razem chciałbym pomówić o granicy funkcji z punktu widzenia licealisty. Na pewno wszyscy je mieli, ale wielu wciąż nie wie, po co dokładnie jest ta granica (prócz zdefiniowania pochodnej). Cóż, granice wykorzystuje się w matematyce do wielu celów, jednak chciałbym powiedzieć głównie o jednym z ich zastosowań (konkretnie granic jednostronnych): rysowanie wykresów funkcji.
Na początku powiedzmy, jak można rozumieć granicę funkcji w punkcie. Niestety, często jest tak, że ktoś zna pojęcie "granica", ale nie wie, jak je zinterpretować. Najprościej można to wyjaśnić tak: wyobraźmy sobie, że mamy wykres funkcji i chodzącą po nim mrówkę. Granicą funkcji w pewnym punkcie x będzie taka wysokość (tzn. taka wartość funkcji), na jakiej będzie mrówka, kiedy będzie nad tym punktem, idąc w lewo lub w prawo po wykresie (będzie to odpowiednio granica lewo- i prawostronna). Dlatego też dla niektórych funkcji są punkty (dla np. 1/x będzie to 0), gdzie granica będzie równa nieskończoności (dodatniej lub ujemnej), ponieważ mrówka będzie musiała iść nieskończenie wysoko lub nieskończenie nisko, żeby znaleźć się dokładnie nad tym punktem.
To tyle, jeśli chodzi o podstawy. Czas zająć się wykresami. Nie będą to oczywiście wykresy dokładnie, bo to by wymagało trochę liczenia, ale za rysowanie przybliżonych wykresów można się zabrać. Oczywiście, rysowanie np. homografii jest proste: starczy znaleźć asymptoty i narysować ramiona. Gorzej, jeśli mamy np. taką funkcję:

A jej wykres jest taki:

No i zonk, jak tu teraz sprawdzić, jak ta funkcja idzie? I w tym właśnie momencie przydają się nam granice jednostronne.
Na początku może przypomnijmy sobie pewną rzecz, która z pewnością była przy omawianiu granic jednostronnych, mianowicie granica jednostronna w ujęciu Heinego. Symbolicznie zapisać ją można tak:

Przydałoby się jakieś wyjaśnienie. Najprościej rzecz ujmując: spacer naszego x (czyli mróweczki na wykresie)  w lewo do x0 będzie tym samym, gdybyśmy mówili o jakimś punkcie oddalonym w prawą stronę od x0 o jakąś poprawkę (czyli nasze h), która staje się coraz mniejsza i mniejsza, aż dochodzi do zera. To jest właśnie granica prawostronna (czyli mrówka idąca z prawej strony). Wydaje się to dość logiczne. Podobnie jest z granicą lewostronną, z tą różnicą, że punkt oddalony o poprawkę jest na lewo od x0.
Ok, mamy już teorię, pora na praktykę. Chcemy się dowiedzieć, jak narysować wykres naszego f(x). Najpierw sprawdźmy asymptotę pionową. Od razu widać, że będzie to x=0 (wtedy mianownik jest zerowy). Pytanie, jak sprawdzić, czy funkcja po lewej i po prawej stronie idzie do plus,  czy też do minus nieskończoności? Wystarczy policzyć granicę lewo- i prawostronną. Wpierw policzmy lewostronną:

A teraz prawostronną:

Jak widać, wszystko zgadza się z pokazanym wyżej wykresem: gdy x dąży do zera zarówno z lewej, jak i z prawej strony, wartość funkcji dąży do minus nieskończoności.
Teraz pozostało jeszcze policzyć asymptotę poziomą. To można zrobić, licząc wartość funkcji, gdy x dąży do plus i minus nieskończoności. To już zostawiam Wam. Powiem tylko, że powinna wyjść jedynka.
Jest jeszcze jedna kwestia, mianowicie, czy funkcja koniecznie musi mieć asymptotę, jeśli na pierwszy rzut oka widać, że tak. Weźmy taką funkcję:

Od razu widać, że funkcja ma asymptotę x=-2, prawda? A teraz spójrzmy, co nam pokaże komputer:

No to mamy problem. Komputer mówi, że dla -2 funkcja przyjmuje jakąś określoną wartość (może trochę tego nie widać, ale wystarczy się przyjrzeć), choć byliśmy pewni, że tam jest asymptota. Więc kto ma rację: my, czy komputer? Komputer, choć nie do końca. Gdybyśmy policzyli lewo- i prawostronną granicę g(x) w punkcie -2, z obu by nam wyszło 12. Jednak nie oznacza to, że w punkcie -2 funkcja ma taką wartość. Po prostu w tym miejscu funkcja jest nieokreślona i powinniśmy w tym miejscu narysować puste kółko, jak to się nauczyliśmy w szkole na lekcjach matematyki.
Czemu więc komputer pokazał, że funkcja w tym punkcie jest ciągła? Otóż to jest właśnie przestroga, żeby nie używać maszyn jako wyroczni. Komputery nie liczą wartości funkcji dla każdej liczby rzeczywistej (inaczej liczyłyby ją w nieskończoność). Robią to tylko dla pewnych dość blisko położonych punktów, a potem uśredniają wykres i pokazują wynik. Dlatego dobrze radzę uważać przy sięganiu po pomoc do komputera i na wszelki wypadek lepiej samemu sprawdzać wynik.

Dziedzina: jak się za nią zabrać?

Cóż, oto pierwszy post mojego nieregularnego bloga. Nieregularnego, bo na chwilę obecną nie przewiduję cyklicznie wrzucać coś na niego. Będę pisał wraz z chwilami natchnienia ;).
Na samym początku chciałbym się zająć czymś, co często jest problemem przy rozwiązywaniu zadań z funkcjami: jak wyznaczyć dziedzinę funkcji. Wielu pewnie mnie skrytykuje już na starcie, ale wierzcie mi, ludzie mają z tym problemy.
Na dzień dobry powiedzmy sobie, przy których wyznacznie dziedziny nie sprawia trudności. Jeśli mamy pod ręką funkcję, która jest od A do Z:

• liniowa
• wielomianowa (kwadratowa, sześcienna etc.)
• sinusem lub cosinusem

wtedy nie mamy absolutnie żadnego problemu, gdyż dla każdej liczby rzeczywistej powyższe funkcje mają jakąś wartość. Gorzej, jeśli mamy inne funkcje, np. wymierne lub logarytmiczne. Ale po kolei.
Podstawowym błędem jest skupianie się tylko i wyłącznie na mianowniku w funkcjach wymiernych. Oczywiście w funkcji jak np. ta:

wystarczy zerknąć na mianownik i od razu większość widzi, że dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste bez -1 i 1 (żeby w mianowniku nie było zera). Ale spójrzmy na taką funkcję:

I już się człowiek gubi. Część ludzi w ogóle nie zwraca uwagi na to, że mianownik może być zerowy, gdyż myli ich sinus. Taki błąd może nie jest częsty, ale czasem się go popełnia. Pozostali spokojnie sprawdzają mianownik i wychodzi im, że x nie może być postaci 3/2 pi + 2k*pi (gdzie k jest liczbą całkowitą). I na tym poprzestają. A jest jeszcze jeden istotny element: tangens. W liczniku chowa się tangens, który też musi być uwzględniony. Dla pewnych liczb rzeczywistych, jak wiadomo, tangens nie przyjmuje wartości, co też musimy wziąć pod uwagę, bo inaczej całe rozwiązanie się nam posypie. Po obliczeniach wychodzi, że x nie może się równać 1/2 pi + k*pi, w co wchodzi nam poprzednio uzyskany wynik. Pominięcie tangensa zabrało nam przeszło połowę punktów, dla których funkcji się nie rozpatruje, co już poważnie psuje całe zadanie. Takie proste błędy mogą prowadzić do zupełnie innego rozwiązania, dlatego trzeba zachowywać ostrożność.

Podobnie jest z funkcjami  pod pierwiastkiem. Bardzo często jest pomijany fakt, że liczba pod nim nie zawsze jest nieujemna i po prostu przechodzi się od razu do rozwiązania. Szczególnie się to spotyka, gdy takowy pierwiastek jest w liczniku w funkcji wymiernej, z podobnych powodów, z jakich pomijany jest tangens.

Inny problem stanowią logarytmy. Z niejasnych przyczyn często pomija się wyznaczanie dziedziny logarytmu, zarówno, gdy zmienną mamy w podstawie logarytmu, jak i gdy jest ona liczbą logarytmowaną. Ale załóżmy, że nie mamy z tym problemów. Gorzej jest, gdy widzimy takie coś:

Patrząc się na to, widzimy tylko jedną zmienną. I fajnie, po prostu x musi być dodatnie i różne od 1, tak? W tym rzecz, że nie. Fakt, że tylko x jest zmienną, ale kto powiedział, że to, co jest w logarytmie o podstawie 3 musi być zawsze dodatnie? Funkcja logarytmiczna przecież przyjmuje też wartości ujemne. Dlatego trzeba też sprawdzić, kiedy funkcja w funkcji jest dodatnia. Inaczej dziedzina będzie niepełna i znów rozwiązanie może być błędne.

Pora na podsumowanie. Zróbmy skrót tego, na co zwracać uwagę przy wyznaczaniu dziedziny funkcji:

• Jeśli masz funkcję wymierną, nie patrz się tylko na mianownik. Czasem licznik może zawierać funkcję, która niekoniecznie jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych.
• Nigdy nie ignoruj pierwiastka, gdziekolwiek byś go nie znalazł.
• Zawsze zwracaj uwagę na podstawę logarytmu i liczbę logarytmowaną.
• I najważniejsze: jeśli w badanej funkcji zawiera się inna funkcja (logarytm z pierwiastka, tangens z logarytmu itd.), nie stawaj tylko na funkcjach najbliższych zmiennej. Traktuj je jak osobne zmienne i je również rozpatruj dla funkcji, w których się zawierają.

I to by było na tyle. Liczę, że komuś przyda się ten post. Do następnego razu ;).